Matematik B - 2.a & 2.b
Tidsplan - Bekendtgørelsen
- Vejledning - Opgaver
Ballonprojekt
Formen på segmenterne kan godt minde om grafen for nogle
analytiske udtryk der er set før, hvorfor der herunder beskrives
andre alternativer til beregning og skitsering af formen for segmentet:
Sinuskurve
Ved at foretage en trepunktsanalyse af startspunkt (x,y) =
(0,0), toppunkt (x,y) = (r,b) og slutpunkt (x,y)
= (2r,0) er det muligt at kontruere en sinuskurve, som ligger
netop oven i den numerisk frembragte kurve.
Hvor er λ bølgelængden og A er
"amplituden" dvs. hvor sinuskurven er højest, hvilket svarer
til b(x) ved kuglens "ækvator".
Parabel
På samme sæt kan der konstrueres en parabel, som ligger
meget tæt opad den numerisk frembragte kurve.
Sammenligning mellem en sinuskurve og en der tilpasser parabel
ses herunder:
Denne konstrueres ved en tre-punkts-analyse, hvor parablens skæringer
med 1ste-aksen og toppunktet, danne grundlag for 2nd-gradspolynomiet:
Taylor-rækker
Et yderligere alternativ er de såkaldte nte-ordens
approximerede (tilnærmede) taylor-polynomier, som kan danne
meget præcise kurver, udelukkende ud fra kombinationer af polynomier.
Grundlaget for disse taylor-rækker, er at kombinere funktionsværdien
i et begyndelsespunkt (a = 0) med brøkdele differentialet
til den originale funktion:
...hvor f'' betyder værdien af dobbelt-differentialet
taget i a, også kaldet den anden afledede, osv.
Dette skyldes at differentialkoefficienten i x = 0 er lig
med 0 og det samme gør sig gældende for den anden,
fjerde, sjette (osv.) afledede.
Derfor kigger vi kun på den første, tredie, femte
(osv.) afledede, og jo højere afledede vi benytter, jo nærmere
kommer taylor-polynomiet til den originale sinuskurve.
Nogle eksempler på taylor-polynomier og en sinuskurve er
illustreret herunder:
|
