Teknisk Gymnasium, Køge Matematik B Den svingende streng

For at kunne forstå del rimelige i og derved acceptere de approximeringer, som vil blive foretaget i de efterfølgende kapitler, opridses her de væsentlige faktorer ved en guitar. der her interresse for nærværende projekt, samt ved den menneskelige hørelses evne til at høre frekvensforskelle.

1.1 Guitarens opbygning

På en guitar frembringes en  iøvrigt sammensat  tone, ved at musikeren tilfører strengen energi med fingeren ved et anslag. Herved kommer strengen i selvsving ved en bestemt grundtone, og da strengen sidder rimelig fast ved sadlen ved guitarens hoved, overføres energien i svingningerne via stolen til dækket (for akustisk guitar), som kommer i svingninger analoge til strengens.
Disse svingninger overføres fra dækkets store overflade til den omgivende luft, hvorved de kan nå det menneskelige øre.

Den moderne guitar er "ergonomisk korrekt", forstået sådan at der kun forekommer mindre afvigelse instrumenterne imellem, hvad ånger form, størrelse og strengeparametre. Dette er resultatet af en tusindårig udvikling, mod et instrument der både spiller højt, lyder godt og er relativt nemt at spille på. Dette instrument har ikke ændret sig nævneværdigt siden 1830'erne [Romanillos,1987].

• Typisk her en guitar følgende dimensioner;
• Totallængde:ca. 1 m
• Strengelængde:ca. 650 mm ± 30 mm
• Strengehøjde over 12. bånd:1,6 - 4,0 mm alt efter model.

Det bemærkes at strengehøjden er meget mindre end strengelængden, hvilket betyder at strengens udsving er tilsvarende lille.

Dybeste tone er på ca. 82 Hz (grundtonen for 6. streng) og herover gengives grundtoner op til omkring 1.320 Hz (1. strengen ved 24. bånd). Samtidig gengives overtoner (højere harmoniske) op til 5 - 10 kHz.
I nærværende skrift regnes udelukkende på grundtoner.

Det kan undre, at der stadigvæk kan være problemer omkring dette instrument, og besyndeligt nok er en stor del af forskningen i guitarren koncentreret om at frembringe en så kraftig lyd med det reneste, uniforme og lineære frekvensspektrum som muligt [Evans, 1977].
Den mekaniske akustik  især på strengeinstrumenter  er dog af så komplex karakter, at forskningen snarere må betegnes som "strukturerede erfaringsindsamlinger", uden nogen akustisk eller fysisk velfunderet model som udgangspunkt. Der er dog sket fremskridt på det område de sidste 30 år [Kasha, M.,1973].

Frans Jahnel; Die Gitarre und ihr Bau, 1963

Noter:
Når der i det efterfølgende nævnes begrebet "løs streng", gælder det for en opspændt streng mellem stol (n = ∞) og saddel (n = 0), og altså ikke er trykket ned til et bånd på gribebrædtet. n er båndnummeret, regnet fra sadlen.
I de grafiske fremstillinger over strengelængde m.m., defineres anden aksen som positiv højde over gribebrædtet, uanset hvilken retning denne er skitseret:

2.0 GRUNDLÆGGENDE TEORI

Der vil forekomme visse relativt specialiserede matematisk/fysiske udredninger i de efterfølgende kapitler. Derfor opridses den del af den grundlæggende teori, der ufravigeligt vil ligge til grund for modeller og beregninger i projektet. Det vil især være afsnittene om stående bølger, toneskalaen og elasticitets modulet, der direkte har relevans.

2.1 Bølgeudreddelse

Der findes mange former for bølger, bl.a. lys  og lydbølger.

Figur 1, Diagram over udbreddelsen af en bølge på en snor.

På Figur 1 vises et punkt der bevæger sig op. hvorved det trækker det efterfølgende punkt med op. Når det første punkt når maximum, vil det falde ned igen og tage et efterfølgende punkt med sig op igen. Det efterfølgende punkt vil igen tage et tredie punkt med sig, jævnt ifølge det første punkt. Svingningen, der opstår ved anslaget pa en guitarstreng, er en række enkelte bølger efter hinanden. Den højde/dybde bølgerne har, er amplituden (A) og længden mellem bølgetoppene er bølgelængden (λ). En periodisk svingning har konstant svingningstid (T), hvilket vil sige, den tid det tager at svinge fra bølgetop til bølgetop.

Figur 2, Bølge i udbreddelsesdomænet y(x).

A er amplituden, λ er bølgelængden og T er svingningstiden. Udbreddelseshastighed for bølgen (ν) er defineret som bølgelængden devideret med svingningstiden;

(n) = bølgeudbreddelseshastigheden.
Når svingningstiden er lille, har bølgen en høj frekvens.

Frekvensen er et udtryk for hvor mange svingninger der forekommer pr. sekund.

(f) = frekvensen (svingninger pr. sekund) i Hz.

Hvis bølgefunktionen i udbreddelsesdomænet (øjebliksbillede for Δt=0), har form som en sinus- eller cosinusfunktion, er der tale om en harmonisk bølge. Bølgelængden for en harmonisk bølge er givet ved;

Når en bølge til tiden (x = 0), har en y-koordinat f(0) vil den til tiden (x₁= vt) have en y-koordinat f(x-vt) (se Figur 3).

Figur 3, Faseforskydning/vandring fangs x aksen.

Højden af bølgen ændrer sig ikke, så når der er gået tiden (x₁) vil toppen have rykket sig vt-stykke. Men y-koordinaten er stadig lig f(0).

For den harmoniske bølge, ved tiden t= 0 (x=0), er y-koordinaten givet ved;

Når toppen har bevæget sig i positiv x retning er positionen til tiden t lig x = vt. y koordinaten vil da være givet ved;

For en bevægelse i negativ x-retning til tiden x= vt, vil y koordinaten være giver ved:

Den cykliske frekvens også kaldet vinkelfrekvensen (ω) er givet ved;

Ved en harmonisk bevægelse vil samme udtryk gælde, hvilket der senere vil blive gjort rede for. Dette kan også omskrives, udtrykt ved vinkelfrekvensen;

2.2 Superpositionsprincippet

Når to eller flere bølger når til et punkt til samme tid, vil der opstå en samlet bølgeform: En sum af de enkelte bølger, der opfører sig sådan, at de ikke påvirker hinanden, men blot lægges sammen som de enkelte amplituder er til et givent tidspunkt;

Når bølger med samme bølgelænge og samme amplitudefortegn (fase) mødes, opstår der konstruktiv interferens, det vil sige en forstærkende virkning, hvilket giver et meget kraftigt udsving i forhold til den enkelte bølge.
To bølger med samme amplitude, og modsat udbreddelsesretning, kan udtrykkes ved;

Ved summation fas;

Dette beskrives som en stående bølge.

2.3 Svingende streng

I praksis opstår en stående bølge på en streng, ved at impulsen fra et anslag forplanter sig ud til enden af strengen. Her bliver den reflekteret og mødes med reflektionen fra den anden ende, hvorved lige præcis dén tone der har et bølgelængde/frekvensforhold, der passer med strengelængden og udbreddelseshastigheden, vil opnå konstruktiv interferens og derved blive kraftigt forstærket.
Når strengen på guitaren slås an, vil man kunne se den stående bølge, som den bølge der fremkommer når den udsendte bølge har samme fasehastighed som den reflekterede bølge. Dette betyder at alle knuderpunkter ligger på samme sted. Et knudepunkt er et sted på bølgen, hvor der ikke er bevægelse, mens bølgens bug vil have et stor udsving.

Figur 4, 1.harmoniske og 2.harmoniske svingning.

Længden mellem to knudepunkter er ½λ.
Hvis en streng opspændt mellem to punkter anslås, vil der fremkomme en grundfrekvens der har bølgelængden 2 gange strengelængden, svarende til knudepunkter ved den svingende strengs ender (v=0).
Disse to knudepunkter vil altid forekomme ved enhver svingning på en guitarstreng.

Oven i grundfrekvensen vil der forekomme flere overtoner (harmoniske svingninger af højere orden), der alle har højere frekvens end grundtonen. Overtonerne har en bølgelængde der går op i strengelængden ved heltalsdivision. Ved den første overtone vil der fremkomme yderligere en knude midt på strengen, hvorfor bølgelængden vil have samme længde som mediets længde (se Figur 4). Bølgelængden for en tone er givet ved;

n = antallet af overtoner, dvs. grundtonen har n = 0. L = længden af opspændt medium.

2.4 Bølgebeskrivelse for den svingende streng

Da der er tale om stående bølger kan man foretage en komplet beskrivelse af bevægelsen, både i tids­ og udbredelsesdomænet;

Sammensat giver det (for en enkelt frekvens);

Her er ikke tale om nogen form for faseforskydning eller vandring langs x aksen, hvorfor bevægelsen kan udtrykkes som ovenfor nævnt.

2.5 Bølgeudbredelseshastigheden på en streng

Udbreddelseshastigheden (v) afhænger af mediets karakteristika. På en opspændt streng er hastigheden simpel at regne på, da den ikke afhænger af bølgelængden, men udelukkende af enkelte målbare parametre.
På Figur 5 forsøges beskrevet kræfter m.m. ved et udsving på en streng, hvor udsvingsformen er beskrevet som en approximeret cirkelform, med radius (r), hvor det lille stykke (ΔL) spændes op med en lille vinkel (ΔΘ).
Set i løbet af et lille tidsforløb (Δt), bevæger stykket (ΔL) sig i en jævn cirkelbevægelse.
Massen af det lille stykke er; μ = mΔL, og centripentalaccelerationen a_c= v²/R.

Ifølge Newton;

Figur 5, Udbredelse af en bølge på en streng, med de aproximerede kræfter og længdeforhold der benyttes nedenfor.

Da (RΔΘ) svarer til længden (ΔL) giver det;

Dette gælder dog kun for relative små udsving i forhold til strengens længde [Ohanian, 1989], men dette er generelt tilfældet ved alle strengeinstrumenter.
Sammenholdes dette med fornævnte;

Da bølgelængden for den 1. harmoniske svingning i en streng er λ₀ = 2L₀ fås at;

Dette er grundlæggende for beregningerne på en opspændt svingende streng!

2.6 Elasticitet

I Hooke 's lov for en fjeder, F = -kΔx, ses fjederen som et legeme hvis elasticitet er konstant, hvilket med god tilnærmelse er tilfældet i de fleste situationer.
Men for et massivt legeme ændres alle tre dimensioner ved kraftpåvirkning i blot den ene retning, hvorfor elasticiteten ændres ligeså. Jo tyndere et legeme er (relativt), des lettere er dette at trække ud og jo kortere legeme (relativt), jo sværere er det at trække ud. Udtrykt ved Young's teori;

ΔL er legemets længdeændring. L er legemets totale længde. E er materialets elaticitetskonstant (Young's modul). F er kraften påtrykt legemet under længdeændringen. a er legemets tværsnitsareal.

Herudfra ses at den nødvendige kraftpåvirkning (F) for at opnå en længdændring (ΔL) er ligefrem proportional med tværsnitsarealet (a) og omvendt proportional med længden af legemet (L). Dette gælder også for en guitarstreng!

Det skal bemærkes at Young's teori kun gælder for en een dimensionel deformation, hvilket i sagens natur er rent hypotetisk. At regne med elaticitetsteorier i tre dimensioner kræver implementering af meget avancerede matematiske metoder, da der her vil indgå yderligere to elasticitetsmoduler; Shear (vridningsmodul) og Bulk (kompressionsmodul), der arbejder i henholdsvis to  og tre dimensionelle systemer [Højgaard Jensen,1962].
En svingende streng kan dog med god tilnærmelse antages at være af een dimensionel udbreddelse, da diameteren er væsentlig mindre end længden, samt at der ligeledes er tale om små udsving.

2.7 Toneskalaen

Op gennem historien og spredt over verdenskortet, har der været benyttet flere forskellige toneskalaer og referencetoner.
Idag er man i den vestlige verden brevet enige om een bestemt toneskala, nemlig den Kromatiske toneskala, med referencetonen (kammertonen) a¹ = 440 Hz. Der ud over er man enedes om, at der forefindes 12 halvtoner jævnt fordelt over en oktav (frekvensfordobling / halvering).
Da en oktav er en fordobling af frekvensen, vil to oktaver være en firedobling og tre oktaver en ottedobling osv.

Når denne oktav ligeledes deles op i tolv trin, vil den tempererede toneskala kunne beregnes udfra;

f₀ = referencetonen (kammertonen a¹ = 440 Hz). f_n = tonen n trin fra referencen.

Det bemærkes at (n) også kan være negativ. For exempel har en løs 6.streng på en guitar en tone på 82,41 Hz svarende til n =  29, og en løs 1.streng svarer til en frekvens på 329,63 Hz, n =  5 Udfra dette kan toneskalaen (f_n) på en almindelig guitar beregnes. Disse tal er vist i nedenstaende tabel:

Tabellen herover kan hentes som semikolonsepereret ascii-fil her.

3.0 Opsamling

Af ovenstående følger at for at frembringe en bestemt tone på en guitar (eller anden form for passiv svingende streng), skal parametre som snorkraften (F), strengelængden (L) og strengens masse pr. længdeenhed (μ) i samspil gå op i en højere enhed, således at den frembragte tone følger konventionerne i den kromatiske toneskala.

Derfor er strengene til frembringelse af de dybe toner væsentligt tykkere end strengene til de høje toner, for derved at kunne skabe de ønskede toner uden at have store forskelle i snorkraften de respektive strenge er spændt op med.
For at lade en enkelt streng have mulighed for at spille forskellige toner, er guitaren udstyret med et gribebrædt med bånd placeret, for at forkorte den svingende længde, når strengen presse ned til et bånd med fingeren. Placeringen af disse bånd er omvendt proportional med udviklingen i frekvens.
Desværre gøres det lidt mere besværligt i den virkelige verden, da strengen forlænges en anelse, når den presses ned til gribebrædtet, grundet den lidt længere længde mellem saddel og stol via gribebrædtet. Dette giver et let forøget træk på strengen (større snorkraft), hvorved tonen ændres tilsvarende relativt. Der kan kompenseres for denne ændring af tonen på flere måder, bl.a. ved at rykke stolen en smule væk fra den teoretiske placering, således at den faktiske strengelængde bliver op til ca. 3 mm større.
Et spørgsmålet er, om der er tale om afvigelser i tonen, som er hørbare med det menneskelige øre?

Da en svingende streng har et stærkt begrænset overfladeareal og lydtryk på den ene side af strengen i vid udstrækning elimineres af lydtrykket fra den anden side, er dens svingninger næsten ikke til at høre. Derfor må der en forstærkning til.
Princippet er, at strengens viberationer overføres til stolen (n = ∞) som overfører dem videre til guitarens lyddæk, der har et betragteligt overfladeareal, og derfor kan sætte større mængder luft i svingninger, som derved kan forplantes til vores ører.
De fysiske koblinger mellem streng, lyddæk og omgivende luft har været genstand for intensiv forskning op gennem 1960-80 - især i USA og Vesttyskland, men en fornuftig videnskabelig model er endnu ikke udviklet, pga. problemets kompleksibilitet.

Litteraturreferencer:

Evans M & T; Guitars - History, Construction and Players, Paddington Press Ltd., London 1977

Højgaard Jensen, H.; Deformerbare stoffers mekanik, Gjellrup, København, 1968

Jahnel, F.; Die Gitarre und ihr Bau, Verlag das musikinstrument, Frankfurt am Main, 1963

Kasha, M & Houtsma A.J.M.; Fret posistions and stringparametres for fretted stringed instrumens, Journal of American Soceity of Acoustics, Provo, 1975

Romanillos, J.L; Antonio de Torres - His life and work, Robert Hartnoll Ltd, Bodmin, 1987

Ohanian, H.C.; Physics, W.W.Norton & Compagny Inc., London, 1989