Differentialkvotienter og regning med disse - Afledet funktion

For at give yderligere mulighed for at forstå ideen bag diiferentialkvotienter og disses anvendelse, på anden måde end lærerbogen [Carstensen & Frandsen, 1998], suppleres her med et forsøg på en forklaring:

Ideen er at kunne beregne hældningen af tangenten til en funktion, udtrykt ved algebra.

Liniens hældning

Med udgangspunkt den rette linie kan hældningen beregnes udfra to kendte punkter på linien, hvor hældningen udtrykker hvor meget linien stiger (eller hvis negativ; falder) når vi bevæger os +1 langs x-aksen:

De to punkter kaldes hhv. p₁ og p₂ og hældningen kaldes α (alfa):

...hvor Δx og Δy er hhv. forskellen i de to punkters x- og y-værdier.

Fra sekant til tangent

På en cirkel kan der tilsvarende findes hældningen for en sekant gennem to punkter på cirkelperiferien. Anderledes er tangenten kendt som værende vikelret på radius, og udtrykker hældningen i kun ét punkt.

Det samme gør sig gældende for en funktion, hvor sekantens hældning kan beregnes ud fra de to punkter på grafen for funktionen, som denne beregnes ud fra:

(se evt. lille animation over udviklingen for h->0, 61kB)

Kendes der en forskrift for funktionen kan de to punkter beregnes, udfra x-værdien x₀ og en anden x-værdi der ligger Δx længere ude af x-aksen;

Bemærk: Der er i Danmark tradition for at kalde forskellen i x-værdier for h, men det er altså det samme, selvom Δx er mere udbredt i fysikken og i den internationale natvidenskabelige verden.

Indsættes dette i tidligere beskrevne udtryk for hældningen, fås;

For at finde hældningen til tangenten fremfor hældningen til sekanten må afstanden mellem de to punkter gøres uendelig lille, jfr. grænseværdi og infinitesimalregningen, dvs. at Δx (h) -> 0.

Denne tangentens hældning kaldes differentialkvotienten om betegnes f'(x₀)

Analytisk løsning

Når vi herefter møder en funtion med velbeskrevet forskrift, findes differentialkvotienten ved at indsætte forskriften på pladsen i stedet for f(x) og derfter lade h->0.

Her eksemplificieret med ax²;

Når h -> 0 fås;

Nogle klassiske løsninger er flg:

Eksempelvis kan enhver potensfuntion omskrives til formen xⁿ;

Regneregler

Udfordringen ved de relativt enkle regneregler er, at kunne bruge dem i ”den virkelige verden”, hvor funktionerne sjældent er givet i så simple former.

Her kommer de vigtigste regneregler:

Numerisk differentiation

I lommeregneren og diverse analystiske regneprogrammer er der ofte indbygget en række tabeller, som giver maskinen mulighed for at løse opgaver med differentiation, og således komme med et algebraisk udtryk.

Der kan dog opstå visse situaioner, hvor løsningen ikke kan findes analytisk, hvorfor den vil ty til den numeriske metode. Det kan ofte være, at det blot er nemmere for maskinen at gøre det sådan, som i bund & grund kun kan regne med nuller og ettaller.

Princippet er det samme som når vi skal gå fra sekant til tangent, ved at lade Δx gå mod nul. Da maskinen har en meget stor regnekapacitet, kan den dog gøre det fra begge sider, hvorved den ikke regner med f(x₀) – f(x₀+h), men derimod med f(x₀-h) – f(x₀+h):

Herved kan der meget hurtigt opnås en tilnærmet værdi, som ligger tæt på den analytiske værdi, og præcissionen er blot et spørgsmål om hvor små størrelser for h (Δx) maskinen orker at regne med.