Vejledninger

Funktionsanalyse

Tidsplan 02/03 | Opgaver | Vejledninger | Bekendtgørelsen

Huskeliste | Tallinie | Polynomiumsbrøk

Funktionsanalyse

Jfr. bekendtgørelsen og bogen (Mat2B p. 96) er funktionsnanalyse et emne der giver grund til opmærksomhed. Erfaringsmæssigt er det et emne som fylder meget i elevernes udfordringsniveauer og derfor får det her et ord med på vejen.
I dag har vi grafregnere (TI83+) og programmer på datamaten (ex.vis Derive og GraphMatematica), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan en matematisk funktion opfører sig i et koordinatsystem. Men det er også meningen at I skal kunne forstå hvad der sker og hvorfor. Derefter er grafregneren eller det matematiske graftegneprogram udmærket til kontrol af det fundne.

Huskeliste

Nedenstående punkter skal altid tjekkes, når en funktionsnanlyse foretages på en given funktion, y=f(x), hvilket er et must for at tegne grafen for funktionen i frihånd:

Definitionsmængde
Nulpunkter
Fortegn
Monotoniforhold
Asymptoter
Støttepunkter
Tegning af graf
Værdimængde
Kontrol

1. Definitionsmængde

Definitionsmængden, Dm(f) er alle de tilladte værdier den variable, x, kan antage. Der vil typisk være tale om alle reelle tal, men flere funktioner er begrænset til enten bestemte intervaller og/eller har enkelte ”forbudte”tal. Her kommer de mest typiske begrænsninger:

Brøk: Der må ikke divideres med 0 (nul!)
Kvadratrod: Kan ikke tages af negative tal
Logaritme: Kun positive tal
Sin^-1 og Cos^-1 kan kun tages af intervallet [-1;1]
Tangens må ikke tages til π/2 + pπ

2. Nulpunkter

For hvilke x-værdier fås funktionsværdien 0 (nul), f(x)=0? Dette giver nogle oplagte støttepunkter, til brug i bl.a. næste punkt, og svarer grafisk til skæring med 1.aksen.I langt de fleste tilfælde kan disse nulpunkter findes anlystisk, ud fra gængse regneregler for pågældende funktion, ex.vis nulpunktsformlen for 2.gradspolynomiet. Er der tale om polynomier af højere orden kan der foretages opdeling i faktorer (jfr. Mat1 p. 232) for at finde rødderne.

3. Fortegn

På baggrund af nulpunktsbestemmelse, kan intervallerne for funktionens fortegn bestemmes, f(x)>0 og f(x)<0, som svarer til de intervaller hvor grafen ligger henholdvis over og under 1.aksen. Når nulpunkterne kendes i forvejen, kan der blot indsættes værdier for x₀ i funktione f(x) der ligger mellem/uden for de fundne nulpunkter.

4. Monotoniforhold

Bestemmelse af grafens hældninger, dy/dx. Interessen samler sig om de x-værdier hvor dy/dx=0, dy/dx>0 og dy/dx>0, og svarer grafisk til henholdsvis ekstrema (hvor grafen topper/bunder lokalt og/eller har vendetangent), voksende og aftagende graf. Bestem først dy/dx og løs derefter dy/dx=0. Når nulpunkterne nu kendes, kan der blot indsættes værdier for x₀ i den afledede funktion dy/dx der ligger mellem/uden for de fundne nulpunkter. Se Mat1 p.203 og Mat2B ch. 6, p91

5. Asymptoter

De rette linier en graf går mod, når x er gående mod en bestemt værdi (se Mat2B ch. 4 p. 62). Disse optræder typisk ifm. polynomiumsbrøker, hvor der kan forekomme flg. tre forskellige former:

Vandret asymptote med ligningen y = a: f(x) → a for x → ± ∞.
Lodret asymptote med ligningen x = x₀: f(x) → ± ∞ for x → ± x₀. x₀ er typisk den/de x-værdier hvor nævneren giver 0 (nul).
Skrå asymptote med ligningen y = ax+b: f(x) – (ax+b) → 0 for x → ± ∞.

Ved polynomiumsbrøker bestemmes eventuel asymptote ved at kigge på polynomiernes grad i hhv. tæller, t, og nævner, n. Brøken skal være uforkortelig – ellers forkortes denne først, og så kan det være der ikke er grund til så mange overvejelser. Se afsnit om polynomiumsbrøker. Desuden har logaritmefunktioner 2.aksen som lodret asymptote, eksponentialfunktioner 1.aksen som vandret asymptote og tangens π/2 + pπ som lodret asymptote.

6. Støttepunkter

Der vil altid være nogle støttepunkter der er strategisk bedre end andre, fundet ved at lave et ”sildeben” i blinde. Nogle gode eksempler kan være:

Skæringer med x-aksen, nulpunkter, f(x) = 0.
Skæring med y-aksen, f(0).
Ekstrema, både vendetagenter, lokale- og globale ekstrema. For at finde disse punkter, indsættes x-værdierne for dy/dx=0 osv. i den oprindelige funktion, f(x).
Eventuelle endepunkter iflg. definitionsmængden, Dm(f).
Kendskab til funktionsværdier for x → ± ∞ - eventuelle asymptoter.

7. Tegning af graf

Dermed menes der håndtegning pba. førnævnte punkter. Husk at til skriftlig eksamen er der ikke mulighed for at udskrive grafer fra TI83 eller Derive, hvorfor det nødvendigvis må foregå med lineal og frihånd.

8. Værdimængde

Det er nu muligt ud fra definitionsmængde, nulpunkter, fortegn, monotoni og asymptoter at bestemme værdimængden, understøttet af det grafiske billede for funktionen. Værdimængden er de funktionsværdier der kommer ud af funktionen y=f(x) for alle tilladte x-værdier, jfr. definitionsmængden, Dm(f).

9. Kontrol

Denne foretages i enten graftegneprogram på datamat eller på grafregneren, for at sikrer at det fundne passer. Til skriftlig eksamen kan denne ikke vedlægges opgavebesvarelsen, men det gør aldrig noget at gøre opmærksom på, at der er udført kontrol og på hvilken måde. Passer kontrollen ikke med det fundne resultat, er der selvfølgeligt et problem der skal løses, men er der ikke tid til dette til eksamen gøres der blot opmærksom på at der er denne forskel mellem, og at du har set den.

Tallinie

Det er ofte en god idé at lave en tallinie, med både x-værdier og de tilhørende værdier for f(x) og dy/dx, for derved at få overblik. Nedenstående skitse er et eksempel på en tallinie for en given funktion og lavet udfra ovenstående analyser:

Ud fra denne skitse kan det umiddelbart ses, at grafen må være opdelt i to dele, da funktionen ikke er defineret i x = 1 (i.d.), hvorfor den nok har lodret asymptote her.
Grafen er aftagene i hele venstre del i intervallet ]-∞ ; 1[, med skæring af 1.aksen i x = -2.
Grafen er aftagende i intervallet ]1 ; 3[, hvor der er skæring med 1.aksen i x = 2 og lokalt ekstrema i x = 3 med funktionsværdien f(3)=-2.
Da grafen ikke har flere skæringer med 1.aksen for x-værdier større end 3, og ej heller lokale ekstrema, må det betyde at der er vandret asymptote i en y-værdi et sted i intervallet ]-2 ; 0[. Grafen for pågældende funktion kunne se ud lidt som nedenstående skitse.

Polynomiumsbrøker

Ved polynomiumsbrøker er der særlige forhold, som gør det særligt at lave funktionsanalyse, herunder polynomiernes division (jfr. pkt 5. asymptoter). Desuden kan vi nøjes med at kigge på dele af brøken, når der skal findes definitionsmængde, nulpunkter og monotoniforhold.

En polynomiumsbrøk består i princippet af et polynomium (tælleren) divideret med et andet polynomium (nævneren);

...hvor tællerens grad betegnes t, og nævneres for n. Med grad menes den højeste potens i respektive polynomium. Nedenfor gennemgås de punkter i funktionsanalysen, som er interessante for lige netop polynomiumsbrøker:

1. Definitionsmængde

Find rødder til tælleren, dvs. hvor nævneren er lig 0 (nul). Disse x-værdier er de ”forbudte”, dvs. at definitionsmængden er alle reelle tal på nær rødderne. I disse rødder er der typisk lodrette asymptoter, men det er ikke altid der er rødder til nævneren.

2. Nulpunkter

Enhver brøk er lig 0 (nul) når tælleren er lig 0, hvorfor der skal findes rødder til denne.
Vær opmærksom på, hvorvidt tællerens rødder er de samme som nævnerens, da de derved ikke er omfattet af definitionsmængden.

4. Monotoniforhold

På vanlig vis findes den afledte til funktionen, f(x), hvor regnereglerne for differentiation skal benyttes;

Den afledede funktion er et udtryk for hældningen og dennes definitionsmængde er ikke nødvendigvis et udtryk for den oprindelige funktions definitionsmængde. For at finde ekstrema, skal den afledede funktion være lig 0, dy/dx=0, og på lige fod med nulpunktsbestemmelsen, kan vi nøjes med at kigge på tælleren;

Herved får vi x-værdierne for hvilke det gælder at grafen for funktionen f(x) har hældningen lig 0.
For at finde y-værdierne til disse vandrette tangenters røringspunkter med grafen for f(x), indsættes x-værdierne i den oprindelige funktion, f(x).

5. Asymptoter

Eventuelle rødder i nævner angiver belliggenheden af lodtret(te) asymptote(r).
t<n: x-aksen er vandret asymptote.
t=n: vandret asymptote ved y-værdien værende forholdet mellem højestegradsleddenes koefficienter (den skalar der står foran xⁿ).
t=n+1: Skrå asymptote, som bestemmes ved brøkens division.
t>n+1: Hverken vandret eller skrå asymptote.

Brøkers division er metoden ved t=n+1, dvs. hvor graden af tælleren er en højere end graden af nævneren. For at regne denne ud, divideres tællerens polynomium med nævnerens ditto, for at få en nyt polynomium plus en rest. Det nye polynomium er et udtryk for asymptoten og resten divideret med nævneren er et udtryk for funktionens afvigelse fra asymptoten.

Et eksempel:

Dette er beregnet som flg:

Der skal forestilles et klassisk divisionsstykke, hvor der blot er tale om funktioner i stedet for ciffre.
Først findes ½x værende værdien der skal ganges på 2x for at få x². ½x gange 2x+8 giver således x² +4x, hvilket trækkes fra det oprindelige tællerpolynomium, og der er -2x-2 tilbage.
Dernæst findes -1 værende værdien der skal ganges på 2x for at få -2x. -1 gange 2x+8 giver således -2x-8, som trækkes fra -2x-2, hvorved der findes en rest på 6. Herved har vi fundet at polynomiumsbrøken kan beskrives som en asymptote med ligningen ½x-1, hvor afvigelsen fra denne kan beskrives som 6/(2x-8).

Opdateret: