Integraler

Jfr. bekendtgørelsen skal der arbejdes med flg. emner i Matematik B:

"Målet er at give indsigt i integralregningens grundbegreber og definitioner, så eleven kan anvende metoder og regneregler for integration med henblik på arealbestemmelser.
Indhold: Definition på integrale. Stamfunktion. Ubestemt og bestemt integrale. Regneregler for integration (konstant, sum, differens). Integration af enkle potens- og trigonometriske funktioner. Arealberegning."

Definitioner

Funktionen f(x) er kontinuer. Hvis F(x) er stamfunktionen for f(x), gælder det at;

Dvs. at vi kan omtale integralet som den inverse operator til differentiering!

Det ubestemte integrale er løsning af et integrale uden grænser, og er derfor en operator der virker på én funktion hvorved der fremkommer en ny funktion. Dette svarer til at finde stamfunktionen.

Det bestemte integrale er løsning inden for afgrænset interval, og giver som regel et tal som resultat. Arealberegning foregår ved udregning af det bestemte integrale.

Regneregler

Der er grundlæggende tre regneregler for integraler, som er omfattet af pensum for Matematik på B-niveau. Disse regler er gældende for både ubestemte og bestemte integraler.

Regnereglerne kan danne grundlag for de fleste løsninger, der falder uden for de trivielle løsninger listet herunder.
Som standardløsninger til enkle potensfunktioner er:

Løsninger til enkle trigonometriske funktioner er:

Desuden kan der nævnes følgende, som kan være gode at kunne, men er i periferien af indholdet af Matematik B:

Der er publiceret tykke bøger med tabeller over løsninger til alle mulige (og umulige) integraler, som der normalt ikke vil være brug for på en gymnasiel uddannelse.
Hvis der alligevel opstår aktuelle behov for løsning af særlige integraler er de relevante løsninger som regel oplyst i opgaveformuleringen.

Arealberegning

Med udgangspunkt i infinitesimalregningen, kan arealet under grafen for en funktion beregnes:
På figuren herunder er arealet under grafen for funktionen f(x) i intervallet fra a til b delt op i et antal retangler. Ser vi på et enkelt retangel i intervallet fra x til x+Δx vil arealet være produktet af sidelængderne, som igen er tæt på Δx•f(x). For at finde det samlede areal under grafen fra a til b, skal de enkelte retanglers arealer blot summeres;

Lader vi nu Δx gå mod nul får vi at;

Dvs. at hvis vi blot gør retanglerne smalle nok, vil summen af arealerne være meget tæt på det faktiske areal under grafen for funktionen f(x) i intervallet fra a til b. Overført til infinisetimalregningen, vil det bestemte integrale af funktionen i intervallet fra a til b give det nøjagtige areal mellem grafen for f(x) og 1.aksen. Dette er en praktisk udnyttelse af integralregningen.

Optræder grafen for funktionen f(x) under 1.aksen vil det beregnede areal være negativt.

Hvis grafen for f(x) har værdier f(x)=0 i intervallet fra a til b, vil delintervallerne under 1.aksen som sagt give negative arealer, mens delintervallerne over 1.aksen giver positive arealer. Disse vil i sagens natur "modvirke" hinanden, hvorved resultatet ikke vil stemme overens med det faktiske areal, hvorfor et sådant integrale skal løses delvist for hver delinterval og de numeriske værdier for arealerne summeres.

Når der skal findes arealet mellem to funktioner f(x) og g(x), løses de bestemte integraler for disse to funktioner særskilt og resulaterne trækkes fra hinanden, for at få arealet imellem graferne.

Specielt for bestemte integraler

Når der regnes på integraler med grænser, er der visse forhold der gør sig gældende:

Dvs. at det bestemte integrale i et interval uden udstrækning er lig nul (0!) samt at det bestemte integrale fra a til b er lig den negative værdi for det bestemte integrale fra b til a.

Optræder der tre grænser i intervallet; a, b og c gælder det at;

Dette kaldes indskudsreglen og dækker over muligheden for at dele et bestemt integrale op i flere mindre intervaller, for efterfølgende summation.

Hermed er alt Matematik B pensum vedr. integraler opridset.