Længdeintegrale

En særlig udnyttelse af integration, er en mulig bestemmelse af en kurves længde, dvs. ikke langs en ret linie (ex.vis 1. aksen) men langs selve grafen for en given funktion, inden for et afgrænset interval.

Det skal dog bemærkes at mange funktioner giver nogle integraler, der ikke har en given løsning.

Ser vi på et eksempel i form af en parabel;

Hvis vi deler grafen for funktionen mellem x=a og x=b op i små intervaller, kan længden af det n^te lille stykke graf beregnes ud fra pythagoras;

Efterfølgende skal der summeres op, hvor alle de enkelte intervaller lægges sammen;

Lader vi nu Δx gå mod nul, dvs. lader det n^te interval blive uendeligt lille får vi;

Skal der summeres op over uendeligt mange, uendeligt små intervaller fås;

Det bemærkes, at når vi sætter dx² uden for kvadratrodstegnet, bliver det til dx, og at vi inden under blot får 1 plus den afledede funktion af f(x) opløftet til anden potens (OBS: ikke at forveksle med at tage den anden afledede til f).

Dette kaldes længdeintegralet for en given funktion!

Vender vi tilbage til parablen fra før, har vi at;

Vil vi udregne længden mellem i intervallet x=[2;6] får vi;

Dette er naturligvis helt uoverskueligt at udregne i hånden - selvom det kan lade sig gøre - hvorfor et analytisk regneprogram (ex.vis MatCAD, Derive el.lig.) med fordel kan bruges.

Samme beregninger for en positiv halvcirkel med centrum i Origo og en radius r, vil måske give problemer for det analytiske regneprogram, hvorfor der bør benyttes integraletabeller, som er tykke bøger med løsninger til alle mulige (og umulige) integraler;

Ved at slå op i en integraletable ser vi at;

[Marray R. Spiegel; Schaums Outline Series - Matehamatical Handbook of Formulas and Tables, 32nd printing; McGraw-Hill Inc., New York, 1968/1994]

...hvorved vi kan løse vores længdeintegrale udfra;

Beregnet for intervallet [-r;r] vil dette lykkeligvis give L=πr. Dette kan også bruges til at beregne vilkårlige delstykker af cirkelbuen.