Talmystik - måske er det ikke så mystisk endda



I Ingeniørens ugeblad nr. 19 findes gengivet nogle empiriske resultater vedrørende fordelingen af første ciffer i tabelværker. Det viser sig at de små cifre er langt hyppigere end de store, idet fordelingen er meget nær logaritmisk.

Denne tilsyneladende mystiske skævhed har en helt naturlig forklaring, idet den nemlig skyldes den måde vi noterer tallene på. Et tal som 735.69 består dels af nogle cifre og dels af decimalpunktet, som i realiteten er en skalafaktor der ikke har indflydelse på cifferfordelingen. Det første betydende ciffer i et tal x kan findes på følgende omstændelige måde:

  1. Find log(x) og smid heltalsdelen væk.
  2. Find y = 10 opløftet til decimalerne i log(x).
  3. Smid decimalerne i y væk; det det bliver tilbage er første ciffer i x.
Eksempel: 
        x = 735.69, log(x) = 2.8667, decimaler = 0.8667
       y = 100.8667 = 7.3569, første ciffer er 7.

Første skridt i ovenstående fremgangsmåde noterer matematikerne således:
        beregn log(x) mod 1
Vi har derfor at første ciffer i x er lig med heltalsdelen af 10log(x) mod 1. Men nu kan vi opskrive en betingelse for at første ciffer i et tilfældigt tal er mindre end d, hvor d ligger mellem 1 og 9: 
        10log(x) mod 1 < d, eller: log(x) mod 1 < log(d)
Men det vil jo sige at sandsynligheden for at første ciffer i et tilfældigt tal er mindre end 2, dvs. lig med 1, må være log(2) = 0.3010. Og sandsynligheden for at første ciffer er mindre end 3, dvs. lig med 1 eller 2, er log(3) = 0.4771. Heraf findes sandsynligheden for at første ciffer er lig med 2 til 0.4771 - 0.3010 = 0.1761. På denne måde kan tabellen i Ingeniøren nr. 19 beregnes og begrundes.

Dengang jeg gik på Polyteknisk Læreanstalt brugte man regnestok (også kaldet gættekæp). Den her givne forklaring svarer til at man slår tilfældigt ned på skalaen på en regnestok og aflæser første ciffer. Man kan sige at skalaen på en regnestok er en naturlig skala i relation til vores måde at skrive tallene på.